[DSE數學教室-必修部份]變分 Variations - Rocky的生活旅遊及教室網站

變分(Variations)是數學教必修部份中，每年必考的課題之一。卷一大部份題目均會在甲(2)部(Section A(2))出現，並且大多會夾雜其他課題在同一題考問。而卷二也是熱門必考的獨立題目之一。

變分可以分為四種:
正變 (Direct Variation)
反變 (Inverse Variation)
聯變 (Joint Variation)
部份變 (Partial Variation)

正變(Direct Variation)，即是一個未知數(在此稱為y)，與另一個數值的變動(在此稱為x)有正變關係，簡單而言就是y隨x正變，如下面例子

理實生活例子，例如某條巴士路線每人收費$10，所有乘客均是同價。如有3人上車，總車費收入就是$30；有20人上車的話，總收入是$200。

通常我們會利用k方法(k-method)表示，上段例子我們的k就是10，因為y隨10x正變，即是當x位乘客上車，總收入是$10乘x。

大家不要以為x增加時，y值一定也會增加。這其實是不一定的，因為y可以隨-2x正變，即當x=1時，y=-1，而x=10時，y=-20。大家可以發現，x值雖然增加了，但y值反而下降。

通常在考試題目時會有以下類型，但很多時不會只是正變，而是下文會提及到的「聯變」及「部份變」。

此類題目通常要求利用k方法，先找出k的值，即當x變動時，y變動的倍數。

題目前半部提供了當x=2，y=48，先設一組公式，左邊是y，右邊是含x的，右邊另加k，表示y隨含x的數值正變。
下一步，代2入x，同時代48入y，利用基本方程式求出k值是3，從而得出y=3(x+2)²。

後半部，當得到k值，並設了上段所說的公式後，便開始解答問題後半部，即代4入x，求出y值便完成。

另一考問方法，此類問題通常在卷二出現。題目會說y隨x變動，當然x可以是有次方或者根號等等，之後會提供x上升或下降的百份比，要求計算y的百份比改變(上升或下降)。

在此，可以先用k方法，得出y₀，表示是y的原值。之後設y₁是x數值改變後的值，可以在所有未知數拼在一起，會發現未知數其實就是y₀的值，所以可以化作y₀。

最後一步就是利用百份比上升/下降的公式，求出y上升的百份比。

反變(Inverse Variation)，簡單而言就是y隨x的倒數變動，即:

做法其實和正變分別不大，但x作為倒數，即是放在分數的分母中。

其實大家可以理解為平分東西。例如，有$1000獎金，有10名參賽者參加問答比賽，答對全部問題者可以平分獎金，下表是勝出者人數與每人可得獎金的關係:

可以見到，當勝出者愈多，每人平均可得獎金金額愈少，這就是「反變」的典型例子。

這類例子做法和正變一樣，只是含x的部份要放在分數中的分母，先找出k值，再解答問題後半部求y值。

問及y的百份比改變也是和正變同樣處理方法，不過含x部份要放在分數中的分母。

聯變(Joint Variation)，就是x會同時隨y及z正變或反變，y和z可以是同時正變、同時反變，或是其一個正變，另一個則反變。

上面示範了三種當出現當x與兩個未知數有變分時的情況。考慮最多就只會問到x隨兩個未知數正變/反變。

以上計算的例子會較多出現在聯變，主要出現在卷二題目，此等題目會在考試題目講解時再作詳解。

部份變 (Partial Variation)，即是x分別隨y及z正變/反變。

題目會出現「部份」(partly)字眼，暗示這是部份變，會有兩個組未知數相加的。所以k方法時要設兩個k，分別是k₁及k₂。近年卷一題目如出現在甲(2)部(Section A(2))，甚或是乙部(Section B)出現時，都會是部份變題目。

另外，題目可能會出現「一部份為常數」(Partly constant)，另一部份隨x²正變，那麼我們k₁不會再跟任何未知數相乘，而k₂則與x²相乘。

由於有兩個k值，所以題目會提供兩組數值，並要用到聯立方程的方式解出兩個k值，再繼續後面的計算。我們會在講解題目時再作詳解。

歷年題目講解

HKDSE題目: Paper 1 Paper 2
HKCEE題目: Paper 1 Paper 2 (2003至2011年)