餘式定理及因式定理題目，於卷一通常會在甲(2)部(Section A(2))設題，並會夾雜其他課題一同考問。因此，除了餘式定理及因式定理要熟讀外，還需要熟讀其他課題，尤其是以下課題：
有理數 Rational Number
恆等式 Identities
聯立方程 Simultaneous Equations
二次方程 Quadratic Equations
二次公式及判別式 Quadratic Formula and Discriminant
多項式除法 Division of Polynomials
多項式除法公式:
被除式 (Dividend) = 除式 (Divisor) x 商式 (Quotient) + 餘式 (Remainder)
餘式定理 (Remainder Theorem):
當除式的最大次數是1，即x+a時，f(x)=-a (可以理解為x+a=0，所以x=-a)
因式定理 (Factor Theorem):
當利用餘式定理時，所計算出的餘式是0時，即該被除式可被除式整除(Divisible)
2025 Paper 1 Question 10
(a)部，題目指當被x+2相除時，餘式是45，所以先設第一組公式f(-2)=45。另外，由於多項式可被2x-5整除，所以再設第二組公式f(5/2)=0，利用函數計法簡化兩組公式，再利用聯立方程計算出h及k值，再把得出數值放在f(x)中，便得出最終的f(x)式。
(b)部，先用多項式除法計算商式，除式是2x-5，已知當f(x)是可被2x-5整除，所以在做除法時不應出現餘式。做因式分解時，左式會是除式乘以商式，等於右邊的0，再利用二次方程方式，把商式再做因式分解，再判斷出所有根是否有理數。
2024 Paper 1 Question 14
(a)部，在計算多項式乘法時，其實當左括號的p，乘以右括號的-10相乘下，會得出一個常數項，可以與-40作方程式求出p值。
(b)(i)部，題目指當被x+1相除時，餘式是-12，所以先設第一組公式f(-1)=-12。另外，由於多項式可被x-2整除，所以再設第二組公式f(2)=0，利用函數計法簡化兩組公式，再利用聯立方程計算出q及r值，再把得出數值放在f(x)中，便得出最終的f(x)式。
(b)(ii)部，於(i)部代數值到q及r，結合(a)部結果，得出兩個括號的的所有項的係數均是已知數值。我們可以兩個括號各自等於0繼續。由於題目只要求找出有多少個無理根，所以利用二次方程便可以容易找出，大家可以按計算機程式再確認結果。
2023 Paper 1 Question 13
(a)部，我們已知被除式是h(x)，以及除式是g(x)。雖然暫時未知商式及餘式，但題目說兩者的相等的。h(x)的最大次數是4，而g(x)的最大次數是3，所以商式最多只有1次方，而常數項暫時未知，故可以設定商式，同時是餘式是(mx+n)，再結合多項式除法的公式及恆等式，求出所有未知的係數值，從而得出商式。
(b)部，我們已從(a)部求出商式。所以可以計算當h(x)=0時，兩個括號各自的根。商式可以用基本方程式計算出實根，而除式的括號則先抽一個x，再利用二次方程，以及按計算機程式確認，以確認出為無理根。
2022 Paper 1 Question 14
(a)部，由於除式的最大次數是2，所以不能利用餘式定理。題目中已提供被除式(即p(x))、除式及餘數，現在我們需要找出商式。p(x)的最大次數是3，而除式的最大次數是2，所以商式最多只會有1次方，可以設定商式為(cx+d)，c是x的係數，而d是常數項。再利用多項式除法公式及恆等式找出所有未知數，包括題目中的a及b。
(b)部，我們從(a)部找出f(x)中的a及b值，先把兩個數值代入f(x)。題目問及x-5是否p(x)的因式，所以我們應計算p(5)的值，計算出數值是0，所以可解釋x-5是p(x)的因式。
(c)部，已知x-5是p(x)的因式，所以可以用多項式除法計算商式，不會出現餘式。然後分解的兩個括號，分別是除式及商式，各自等於0後，商式的一邊可以用基本方程式計算x值，而商式的括號，我們可以利用二次公式計出根值。由於平方根內是負數，根據判別式(Discriminant)，此組二次方程為無實根。總括而言，並沒有題目所指有兩個無理根。
2021 Paper 1 Question 12
(a)部，題目已提供除式、商式及餘式，所以可以先利用多項式除法的公式設立一組公式。題目另提到該多項式可被5整除，所以應計算當p(5)=0時的c值。
(b)部，我們已從(a)部得到c值，所以把c值代入p(x)中的c。題目要求證明x+3是p(x)的因式，所以應計算當p(-3)時，p(x)是否等於0。如是，便可以解釋x+3是p(x)的因式。
(c)部，我們已從(a)及(b)部分別找出兩個因式，所以先做兩次多項式除法，找出其最終的商式。題目只要求解釋是否所有的根是實數，所以商式的二次方程，只需用判別式計算是否大於或等於0。由於最後計出是負數，所以二次方程沒有實根，只有虛根，所以題目的說法不正確。
2020 Paper 1 Question 13
(a)部，題目已提供除式及餘式，所以先設Q(x)是多項式中的商式。另題目已說明可被x-1整除，所以計算當f(1)=0時的k值。由於在代x=1時，除式一邊已等於0，即使乘以商式也會被抵銷，只餘下餘式再利用方程式求出k值。
(b)部，已知k值後，把k值代入f(x)中。題目仍未知商式，但知道多項式最大次數是3(Cubic Polynomial)，而除式最大次數是2，所以商式最大次數只會是1，故可以設商式是(ax+b)。題目提供f(x)能被x+3整除，故第一組式為f(-3)=0。另當多項式被x相除時，餘式是-24，所以第二組式是f(0)=-24。現在可透過二次方程找出a及b值，即是商式，再代入f(x)中找出當f(x)=0時情況。由於除式乘以商式的兩個括號，以及餘式各自可以抽x-1，故可以得出一組x-1=0，另一組時一組二次方程，透過分解法以及計算機確認後，找到所有根是整數。
2019 Paper 1 Question 11
(a)部，首先已知p(x)能被2x2+9x+14整除。除式次數是2次方，故不能利用餘式定理。已知p(x)最大次數是3次方(因為Cubic Polynomial)，同時可整除的除式為2次方，故商式最多只會是1次方，可以設(ax+b)為商式。
題目另提供如多項式被x-1相除時，餘式是50，故第一組式會是p(1)=50。另如被x+2相除時，餘式是-52，所以第二組式是p(-2)=-52。然後利用聯立方程計出a及b值，便能求出商式。
(b)部，已知除式及商式，可組成p(x)=兩組括號。商式一邊明顯可利用基本方程式求出一個有理根。而除式的一組二次方程，經二次公式計算後，發現到無實根，所以當p(x)=0時只有1個有理根。
2018 Paper 1 Question 12
(a)部是簡單的餘式定理找出a及b值。首先，x-3是f(x)的因式，所以可以設第一組公式為f(3)=0。另外當f(x)被x+2相除時，餘式是2b+165，第二組公式會是f(-2)=2b+165。利用聯立方程便可計算a及b值。
(b)部，先利用恆等式拆開括號，再經多項式運算後得出一組有3次方的多項式。已知x-3是f(x)的因式，所以利用多項式除法，除式是x-3計算商數，再化作兩組括號，分別是除式及商式。除左一邊明顯計出是有理根，而商式一邊經二次公式計算後，發現是沒有實根，所以最後答案是沒有無理根。
2017 Paper 1 Question 14
(a)部，可以利用被除式=除式X商式+餘式，結合恆等式求出a值。
(b)(i)部，現時知道g(x)的除式及餘式，所以先設k為商式，但暫時無需理會k值。發現當f(x)-g(x)後，兩邊都有(2x2+ax+4)，所以可以抽出來作為除式，也可解決到f(x)-g(x)能被(2x2+ax+4)整除。
(b)(ii)部，可以利用b(i)計出的兩組括號各自求根，會得出(2x-1)(x-4)(3x+7-k)=0。當2x-1=0時，x會是一個分數，而當3x+7-k=0時，由於k可以是任何數，所以得出的x值也未必會是整數，所以當f(x)-g(x)=0，非並所有根也是整數。
2016 Paper 1 Question 14
(a)部，可以利用餘式定理計出p(2)=p(-2)。由於兩邊同時可以分別抵銷4a及c，所以先找出b值，但a及c值在此題目其實並不重要，因為之後利用恆等式計算l、m及n值時也不需要。恆等式左右分別為題目提供的兩組p(x)式。
(b)部，在(a)部求出l、m及n值後，直接把結果代入有兩組括號的p(x)中，同時p(x)=0下，題目只要求找出有多少個實根，所以兩組括號各自由判別式計算出數值，其中一組少於0，所以沒有實根，另一組大於0，有兩個不同實根，所以最終結果是有兩個不同實根。
2015 Paper 1 Question 11
(a)部，首先考慮當f(x)被x-2整除後的餘式是5，所以設f(2)=5，可以先把前面有h的值乘以0抵銷，先計算k值。然後f(x)可被x-3整除，所f(3)=0，同時知道k值，便可以找出h值。
(b)部，在代入h及k值後，再做拆括號及多項式運算後，得出一組最大為3次方的多項式。已知此可被x-3整除，所以把f(x)被x-3相除後得出商式，同時f(x)=0，左式會有分別是除式及商式的括號。除式括號明顯求出一個整數根。商式的括號，則利用二次方程計出是兩個無理根，所以f(x)=0下，並非所有根是整數。
2014 Paper 1 Question 7
這是少數此課題題目出現在甲(1)部(Section A(1))中。
(a)部，題目開始已知當f(x)被x-2相除時，餘式是33，所以先計算當f(2)=33時的c值。之後計算f(-1)是否等於0，從而證明x+1是否f(x)的因式。
(b)部，已知x+1是f(x)的因式，所以可以利用多項式除法，除式為x+1求出商式。然後出現f(x)=0時有兩組括號，分別是除式及商式。除式一邊明顯計出是一個有理根，而商式一邊經計算後也可計出有理根，所以f(x)=0時，所有根也是有理數。
2013 Paper 1 Question 12
(a)部，其實已經是暗示了f(x)可被x-2整除，所以先利用餘式定理，設f(2)=0時的k值，再利用多項式除法，得出題目開頭後半部的模樣，從而求出a、b及c值。
(b)部，已知f(x)經因式分解後的兩個括號，分別是除式及商式。當f(x)=0時，題目只要求判斷是否全部根是實根。除式一邊的括號明顯求到實根。商式一邊則利用判別式計算到是負數，所以沒有實根，故題目句子不成立。
