[DSE數學教室-必修部份]餘式定理及因式定理 (Remainder Theorem and Factor Theorem) DSE卷二題目講解

餘式定理及因式定理題目，於卷二通常會獨立出題，並可能會夾雜其他課題一同考問。因此，除了餘式定理及因式定理要熟讀外，還需要熟讀其他課題，尤其是以下課題：
聯立方程 Simultaneous Equations

多項式除法公式:
被除式 (Dividend) = 除式 (Divisor) x 商式 (Quotient) + 餘式 (Remainder)

餘式定理 (Remainder Theorem):
當除式的最大次數是1，即x+a時，f(x)=-a (可以理解為x+a=0，所以x=-a)

因式定理 (Factor Theorem):
當利用餘式定理時，所計算出的餘式是0時，即該被除式可被除式整除(Divisible)

2025 Paper 2 Question 9

此題已知p(x)可被x+3整除，故先求出p(-3)=0時的n值，再把n值代入f(x)後，找出p(3)的值。

2024 Paper 2 Question 9

此題已知f(x)被x+k整除，所以先計算出f(-k)=0時的k值，再把n值代入f(x)。題目要求找出f(x)被x+1相除的餘式，所以應計算f(-1)的值。

2023 Paper 2 Question 9

此題先計算當f(x)被2x-3整除後的a及b的主項值，即f(3/2)=0，然後計算被2x+3相除的餘式，即f(-3/2)，把結果套落下面便可計算出其餘式值。

2022 Paper 2 Question 9

題目已知g(x)被x+2a整除，所以先計算當g(-2a)=0時的b值，再把結果套到f(x)後，按題目後面的求被x-2a相除的餘式時，求g(2a)時的餘式。

2021 Paper 2 Question 8

此題已知p(x)的除式(x²-1)，所以先設商式為Q(x)，而餘式是(ax+b)，因為除式是2次方，所以餘式最多只會有1次方。已知p(x)被x+1相除時的餘式是-2，所以先設第一組式p(-1)=-2，同時也已知當p(x)能x-1整除，所以設第二組式p(1)=0，再利用聯立方程求出a及b值後得出餘式。兩式其實能夠使商式乘以0，所以商式在此並不重要。